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【ブラックショールズ方程式への道⑥】伊藤の公式のこころを理解する【確率微分方程式の基礎】#VRアカデミア #045
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2020/3/13
2020/3/13 20:00
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ご視聴ありがとうございます!
伊藤の公式について、より直感的に深く理解するための動画です。
見てすぐは混乱があるかもしれませんが、この動画の内容を自分なりに解釈できたときこそが、伊藤の公式を理解できたときだと思います。
演習問題のヒント:
演習①
X : 平均 0、分散 b^2 σ^2 t の正規分布に従う確率変数
→ E(e^X) = exp( b^2 σ^2 t / 2) を示せ。
方針
∫_{-∞}^{+∞} e^x (1/2π b^2 σ^2 t)^{1/2} e^{ -x^2 / (2b^2 σ^2 t)} dx
を計算すれば OK 。
To 高校生: ∫_{-∞}^{+∞} (1/2π b^2 σ^2 t)^{1/2} e^{ -x^2 / (2b^2 σ^2 t)} dx = 1 と、置換積分を用いると、この積分も計算できます。
演習②
a - b^2 σ^2 / 2 < 0 のとき、
lim_{t → +∞} p( x(t) > x_0 ) = 0 を示せ
方針
x(t) > x_0
⇔ (a - b^2 σ^2 / 2) t + bw(t) > 0
⇔ w(t) > - ( (a - b^2 σ^2 / 2) / b ) t
ここで、 w(t) は平均 0 分散 σ^2 t の正規分布に従うので、
両辺√(σ^2 t) で割って正規化すると、
⇔ w(t) / √(σ^2 t) > - ( (a - b^2 σ^2 / 2) / (b √σ^2) ) √t
t → +∞ でこれが成立する確率は...?
参考文献:
【今日紹介したのはこれ】
確率システム入門 (システム制御情報ライブラリー) :
https://amzn.to/2xd9Y8d
確率微分方程式 | B.エクセンダール :
https://amzn.to/2Fx1fSK
sm36475890
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