いろんな証明体系を見るのだ。なにこれ、え、無理。
※動画内容に疑問点・疑義があれば、お気軽にコメントをお願いします。
実際、論理学はずぶの素人なので……。
(20240213_応答)
コメントありがとうございます!
(1) 8:27周辺
Q. 1行目が「0:¬(P∨Q)」となっている。が、正しくは「¬¬(P∨Q)」では?
A. たぶん、どちらでも大丈夫です。というか、お示しの後者の方がより正統派だとおもいます。
タブローは意味論と密接に語られることがあり、その際に前者のように真理値が併せて表記されることがあります(cf. 丹治2014、戸次2012)。
今回は、そのような意味論寄りのタブローを取り上げて、「タブローに意味が入ったとき、これは意味論なのか統語論なのか」という問題に繋げたかったので、真理値を併記するよう表記しました。
ただ、枝を閉じる条件について、前者は同形式の命題が異なる真理値を持つ、後者は肯定と否定のリテラルが同時に出る、という異なりがあるため、動画内の表現はやや混在しております(お見逃しを〜〜〜!!!)。
(2) 13:28周辺
C. 古典論理の完全性と算術の完全性は異なりますよ。
A. ばれちった……! ごまかしが露呈しましたね、へへへ。第9回か第10回で盛り込みます。
私の現在の理解をお話しします。Pを証明体系、Aを命題としましょう。
・(意味論的完全性)古典論理の完全性は、概略「Aが恒真であるならば、Pで証明可能である」です。換言、論理体系が不完全であるとすれば、それは「Aが恒真であるからといって、Pで証明可能であるわけではない」となります。
・(統語論的完全性)たいして、Goedel的な不完全性(第一不完全性定理における)は、概略「Pにおいて、Aも¬Aも証明できない、そのようなAが存在する」です。ここには、Aの恒真性の概念が含まれません。
(3) 投稿者から
Q. ここで、統語論的完全性に①二値原理、②排中律を加えると、意味論的完全性との関連はどうなるでしょうか? また、これらを加えることは可能でしょうか? もしお考えのことがあれば、コメントお願いします。
(20240216_追記)
15:43 議論ありがとうございます! たすかります。
まえ……
https://www.nicovideo.jp/watch/sm43183004つぎ……
https://www.nicovideo.jp/watch/sm43402491ずんずん命題論理……
https://www.nicovideo.jp/series/397548